ЗАДАЧА: В три одинаковых чайника налили разные объемы воды комнатной температуры: \( V1=V=1л \), \( V2=3V \), \( V3=4V \). Вода в первом чайнике закипела через \( t_1 = 5 \) минут, а во втором через \( t_2 = 13 \) минут. Через какое время закипит вода в третьем чайнике? Теплопотерями в окружающую среду пренебречь.
Для решения задачи, давайте рассмотрим, как время закипания воды зависит от её объёма. Предположим, что мощность нагревателя постоянна, и теплопотери в окружающую среду отсутствуют.
1. Определим зависимость времени закипания от объёма воды:
— В первом чайнике объём воды ( V_1 = 1 ) литр закипает за ( t_1 = 5 ) минут.
— Во втором чайнике объём воды \( V_2 = 3 \) литра закипает за \( t_2 = 13 \) минут.
Заметим, что при увеличении объёма воды в 3 раза, время закипания увеличивается с 5 до 13 минут. Это нелинейная зависимость, но для упрощения предположим, что время закипания пропорционально объёму воды.
2. Найдём коэффициент пропорциональности:
Для первого чайника:
\[
t_1 = k \cdot V_1
\]
\[
5 = k \cdot 1 \Rightarrow k = 5 \text{ минут на литр}
\]
Для второго чайника:
\[
t_2 = k \cdot V_2
\]
\[
13 = k \cdot 3 \Rightarrow k \approx 4.33 \text{ минут на литр}
\]
Видим, что коэффициент не постоянен, поэтому предположим, что время закипания зависит от объёма линейно, но с учётом начального времени нагрева.
3. Уточним зависимость:
Пусть время закипания \( t \) зависит от объёма \( V \) следующим образом:
\[
t = a \cdot V + b
\]
где \( a \) и \( b \) — константы.
Подставим данные для первого и второго чайников:
\[
5 = a \cdot 1 + b
\]
\[
13 = a \cdot 3 + b
\]
Решим систему уравнений:
\[
\begin{cases}
5 = a + b \\
13 = 3a + b
\end{cases}
\]
Вычтем первое уравнение из второго:
\[
13 — 5 = 3a + b — (a + b) \\
8 = 2a \Rightarrow a = 4
\]
Подставим \( a = 4 \) в первое уравнение:
\[
5 = 4 + b \Rightarrow b = 1
\]
Таким образом, зависимость времени закипания от объёма:
\[
t = 4V + 1
\]
4. Найдём время закипания для третьего чайника:
Объём воды в третьем чайнике \( V_3 = 4 \) литра. Подставим в формулу:
\[
t_3 = 4 \cdot 4 + 1 = 16 + 1 = 17 \text{ минут}
\]
Ответ: Вода в третьем чайнике закипит через \(\boxed{17}\) минут.
