Квадратное уравнение — это уравнение вида:
\[ ax^ 2 +bx+c=0, \]
где:
- a, b, c — коэффициенты, причем a≠0,
- x — переменная.
Для нахождения корней квадратного уравнения используется дискриминант. Дискриминант — это выражение, которое позволяет определить количество и тип корней уравнения.
Формула дискриминанта
Дискриминант D квадратного уравнения вычисляется по формуле:
\[ D=b^ 2 −4ac. \]
Значение дискриминанта определяет характер корней:
- Если D>0, то уравнение имеет два различных действительных корня.
- Если D=0, то уравнение имеет один действительный корень (корни совпадают).
- Если D<0, то уравнение не имеет действительных корней (корни являются комплексными).
Формулы для нахождения корней \( x_1 и x_2 \)
Если дискриминант \( D≥0 \), то корни квадратного уравнения вычисляются по формулам:
\[ x_1=\frac{-b+\sqrt D}{2a} \],
\[ x_1=\frac{-b-\sqrt D}{2a} \]
Эти формулы называются формулами корней квадратного уравнения.
Пример решения квадратного уравнения
Рассмотрим уравнение:
\[ 2x^ 2 −5x+3=0 \]
Найдем дискриминант:
\[ D=b^ 2 −4ac=(−5) ^ 2 −4⋅2⋅3=25−24=1. \]
Так как D>0 уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни:
\[ x_ 1 = \frac{ − (−5)+\sqrt 1} {2⋅2} = \frac{5+1}4 = \frac{6} {4} =1.5 \],
\[ x_ 1 = \frac{ − (−5)-\sqrt 1} {2⋅2} = \frac{5-1}4 = \frac{4} {4} =1 \].
Ответ: \( x_ 1 =1.5 \), \( x_2=1 \).
Связь между корнями и коэффициентами (теорема Виета)
Если \( x_ 1 \) и \( x_ 2 \) — корни квадратного уравнения \( a x^ 2 + b x + c = 0 \), то выполняются соотношения:
\[ x _ 1 +x _ 2 =\frac{b} {a} \],
\[ x_ 1 ⋅x_ 2 = \frac {c}{a} . \]
Эти соотношения называются теоремой Виета и часто используются для проверки правильности найденных корней.
Итог
- Дискриминант \( D=b^ 2 −4ac \) определяет количество и тип корней квадратного уравнения.
- Если D≥0, корни вычисляются по формулам:
\[ x_ 1 = \frac { −b+ \sqrt D}{2a} \],
\[ x_ 2 = \frac { −b- \sqrt D}{2a} \].
- Если D<0, действительных корней нет.
Эта тема является одной из ключевых в алгебре и широко применяется в математике и физике.
